Kyvadlo: Závislost periody kyvu na délce závěsu

Pokus číslo: 2057

Demonstrační experiment nebo praktická úloha
  • Cíl pokusu

    • Žák predikuje výsledek a ověřuje hypotézu

    • Žák aplikuje dříve nabyté poznatky o periodě

    • Žák užívá nelineárního vzorce k určení periody kyvu kyvadla z jeho délky, a to k výpočtu parametrů pomůcky

    • Žák pozoruje zajímavý efekt (motivace)

  • Teorie

    Doba jedné periody kyvu matematického kyvadla závisí na délce jeho závěsu podle vzorce:

    \[T=\frac{2π}{\sqrt{g}}\sqrt{l}\]

    kde T je perioda, l je délka závěsu, g je tíhové zrychlení. Čím kratší je délka závěsu, tím kratší je doba jeho kyvu, nejedná se však o lineární závislost, ale o závislost kvadratickou.

    Budeme-li pozorovat více kyvadel s různě dlouhými závěsy, můžeme vidět zajímavý efekt – kyvadla se po určitém čase τ pravidelně setkávají v rovnovážné poloze. Lze toho dosáhnout např. tak, že kyvadla uspořádáme do řady a nastavíme délku závěsů tak, aby každé následující kyvadlo mělo oproti předchozímu takovou délku závěsu, že za čas τ stihne o jeden kmit více než předchozí kyvadlo.

    Na následujícím odkazu nalezneme zjednodušenou demonstraci stejného efektu na trojici pružin, kde první pružina za čas τ stihne jeden, druhá dva a třetí tři kmity.

    Stránky Dr. Daniel A. Russella z Pensylvánské státní univerzity

    Po odstartování experimentu dojde k pozvolnému vizuálnímu rozchodu kyvadel. Po uplynutí času τ se kyvadla opět sjednotí v synchronní kyv.

  • Pomůcky

    Pomůcka s kyvadly

    • Hliníková tyč/profil U s vyvrtanými otvory, pevná nit nebo tenký provázek, kulatá rybářská olůvka (nebo jiná závaží dostatečné hmotnosti, aby vypnula použitý závěs), oboustranná lepicí páska, deska pro zahájení experimentu

    Pro náročnější variantu
    • Stopky, metr a projektor

  • Postup konstrukce pomůcky

    Do hliníkové tyče (hliník proto, aby se do něj snadno vrtalo), nebo profilu tvaru „U“ vyvrtáme menší otvory v pravidelných rozestupech 2-3 cm. Pro vrtání je vhodné tyč upevnit do svěráku a před vrtáním si dírku předklepnout hřebíkem, aby vrták nesjížděl do strany. Vyvrtané otvory je vhodné zabrousit, aby nám netrhaly závěs.

    Jako závěs jsme nejprve použili nit. Její nevýhodou je, že se při opakované manipulaci trhá. Doporučujeme proto použít provázek, ačkoli ten se zase při změně délky závěsu kroutí.

    Propočítáme délky závěsů. V našem případě jsme zvolili délku nejdelšího závěsu 50 cm, vypočetli dobu kyvu 1,42 s a zvolili počet 15 kyvů, než dojde k setkání s ostatními kyvadly. Výsledný čas:

    \[τ=21{,}28\,s\]

    Ostatní údaje byly dopočteny (Tab. 1).

    Tabulka 1: Dopočtené délky závěsů.

    Počet period za 21,28 s T (s) l (m)
    15 1,42 0,5
    16 1,33 0,439
    17 1,25 0,389
    18 1,18 0,347
    19 1,12 0,312
    20 1,06 0,281
    21 1,01 0,255
    22 0,97 0,232
    23 0,93 0,213
    24 0,89 0,195
    
     
     

    Na jednom konci hliníkové tyče (či profilu ve tvaru „U“) pevně upevníme nit a pak ji provlékáme otvory a olůvky jak ukazují Obr. 1 a 2.

    Obr. 1: Konstrukce pomůcky s kyvadly z niti a tyče.
    Obr. 2: Konstrukce pomůcky s kyvadly z provázku a profilu tvaru U

    Nit/provázek mezi kyvadly jsme podlepili oboustrannou lepicí páskou, abychom zamezili náhodným posunům, ale umožnili posun úmyslný.

    Vznik pomůcky byl inspirován videem publikovaným Harvardskou univerzitou na motivy experimentu Ernsta Macha:

    Harvard Natural Sciences Lecture Demonstrations.
  • Postup: Zjedondušený

    Zjednodušený postup používá hotovou pomůcku k demonstraci závislosti periody kmitu na délce závěsu kyvadla.

    Před experimentem bychom měli nechat žáky zvolit hypotézu:

    1. Všechna kyvadla se budou kývat stejně

    2. Kratší kyvadla se budou kývat pomaleji, a tudíž budou mít delší periodu

    3. Delší kyvadla se budou kývat pomaleji, a tudíž budou mít delší periodu

    4. Středně dlouhá kyvadla se budou kývat nejpomaleji nebo nejrychleji

    Po experimentu by mělo proběhnout zhodnocení hypotéz a diskuse pozorovaného děje. Nemělo by chybět ani jeho vysvětlení.

    Důležité je pozorování tvaru pomůcky. Závěsy nejsou v přímce (což se nejlépe pozná přiložením pravítka), ale jsou naskládány do tvaru ležaté paraboly. Takováto parabola je grafem druhé odmocniny, což nám umožní předložit žákům vzorec pro výpočet periody.

  • Postup: Náročnější

    Cílem náročnějšího postupu je úprava pomůcky namísto použití pomůcky již hotové. Žákům předložíme pomůcku, která nemá správně rozměřené délky závěsů, a nedochází ke sjednocení kyvů kyvadel. Žáci mají za úkol pomůcku upravit po vzoru videa s výsledným efektem.

    Pokud se žáci pokusí poskládat kyvadla za sebe od nejdelšího po nejkratší, zjistí, že se kyvadla plynule rozejdou, ale už se nesynchronizují.

    V tuto chvíli žákům napovíme otázkou: „Jak zařídit, aby se kyv kyvadel opět sjednotil?“ Žákům poskytneme dostatek času, aby si mohli odpověď promyslet.

    Ke konstrukci samotné pomůcky je nutné znát závislost periody na délce závěsu. Toto měření můžeme snadno provést tak, že dvojice žáků změří délku a periodu jednoho z kyvadel , svůj výsledek zapíší do tabulky na tabuli (ideálně přes MS Excel). Délku je nutno měřit od těžiště olůvka, periodu měříme z celkového naměřeného času většího počtu kyvů, například z deseti, vyhneme se tak příliš velké chybě měření. Vynesením tabulky do grafu vyjde parabola. Konstantu úměrnosti žákům sdělíme, viz vzorec:

    \[T=\frac{2π}{\sqrt{g}}\sqrt{l}\]

    Posledním krokem, je použití vzorce k výpočtu délek závěsů stávající pomůcky. Každá dvojice přepočítá délku svého kyvadla tak, aby jeho délka byla kompatibilní s pevně stanovenou délkou nejdelšího kyvadla: Každé další kyvadlo musí mít takovou délku, aby do setkání s předchozím kyvadlem stihlo o jednu periodu více. Parametry nejdelšího kyvadla by měl stanovit učitel tak, aby odpovídaly ověřeným parametrům naší pomůcky (tj. délka závěsu a počet period, než se setká s ostatními kyvadly).

  • Vzorový výsledek

Typ pokusu: kvantitativní
Věková skupina: od 2. stupně základní školy
Potřebné vybavení: vyžaduje specifické pomůcky
Čas přípravy pokusu: delší než 10 minut
Čas provedení pokusu: delší než 10 minut
Pokus je zachycen na videu
Původní zdroj: http://sciencedemonstrations.fas.harvard.edu/presentations/pendulum-waves
×Původní zdroj: http://sciencedemonstrations.fas.harvard.edu/presentations/pendulum-waves