Teplotní roztažnost mosazné koule
Úloha číslo: 485
Mosazná koule má při teplotě 15 °C průměr 4 cm. O kolik stupňů je nutné zvýšit její teplotu, aby neprošla otvorem o průměru 4,04 cm?
Nápověda
Pro výpočet změny délky s teplotou je třeba znát tzv. koeficient délkové roztažnosti α, který můžete dohledat v tabulkách.
Rozbor
Koule neprojde otvorem, pokud se její průměr zvětší na více než 4,04 cm. K tomu, abychom určili závislost průměru koule na teplotě, potřebujeme znát koeficient délkové roztažnosti mosazi α, který vyhledáme v tabulkách. Změnu teploty potom vyjádříme ze vztahu pro délkovou roztažnost, dosadíme a vypočítáme.
Zápis
t0 = 15 °C počáteční teplota d0 = 4 cm počáteční průměr koule d1 = 4,04 cm průměr otvoru Δt = ? změna teploty Z tabulek:
α = 20·10−6 °C−1 koeficient délkové roztažnosti mosazi Řešení
Musíme zjistit, při jaké teplotě bude průměr koule roven průměru otvoru. K tomu, abychom mohli určit závislost průměru na teplotě, musíme znát koeficient délkové roztažnosti α (uvažujeme změnu v jednom rozměru, proto pracujeme s délkovou roztažností).
\[d_1=d_0\left(1+\alpha\mathrm{\Delta}t\right)\]Z něj můžeme vyjádřit hledanou změnu teploty Δt :
\[\frac{d_1}{d_0}-1=\alpha\mathrm{\Delta}t\] \[\mathrm{\Delta}t=\frac{1}{\alpha}\left(\frac{d_1}{d_0}-1\right)\]Číselné dosazení:
\[\mathrm{\Delta}t=\frac{1}{20\cdot{10^{-6}}}\left(\frac{4{,}04}{4}-1\right)\,{\,^{\circ}\mathrm{C}}=500{\,^{\circ}\mathrm{C}}\]Odpověď
Teplotu mosazné koule musíme zvýšit nejméně o 500 °C.
Odkaz na pokus
Úlohu lze propojit s experimentem Teplotní objemová roztažnost kovů.
