Sbírka řešených úloh

Skleněná trubička a mýdlové bubliny

Úloha číslo: 1864

Na koncích skleněné trubičky vyfoukneme dvě mýdlové bubliny o různých poloměrech r < R. Pak otevřeme kohout a obě bubliny propojíme. Předpokládejme, že bubliny neprasknou. Budou se nějak měnit jejich poloměry?

• Nápověda - Výpočet kapilárního tlaku

  K vyřešení úlohy budete potřebovat vědět, jak závisí kapilární tlak uvnitř bubliny na jejím poloměru. Představte si, že se objem bubliny o maličko zmenší, tím bude menší i její poloměr a plocha povrchu. Vyjádřete si pomocí kapilárního tlaku práci, kterou vykonají povrchové síly při změně objemu bubliny, a také si napište, jak se změní povrchová energie bubliny. Rozmyslete si, v jakém vztahu je vykonaná práce a změna povrchové energie.

• Kapilární tlak

  V úzkých trubicích, při stěnách nádoby nebo u kapek a mýdlových bublin se setkáváme se zakřiveným povrchem kapaliny. V těchto případech vzniká vlivem povrchového napětí přídavný tlak, který je v každém místě kolmý k povrchu. Tento tlak nazýváme kapilární a značíme ho p_k.

• Rozbor

  To, zda se budou nějak měnit poloměry bublin, bude záležet na tlaku vzduchu, který je uvnitř. Bude-li v jedné bublině tlak vyšší, začne vzduch z ní proudit do druhé bubliny.

  Tlak uvnitř bubliny je dán atmosférickým tlakem vzduchu a tlakem syté páry, která se odpařuje z povrchu blány. Tyto tlaky jsou u obou bublin stejné. Dále se přidává tlak, který vzniká působením pružné blány bubliny, která vzduch uvnitř stlačuje. Tomuto tlaku říkáme kapilární tlak a musíme zjistit, jak závisí na poloměru bubliny.

  Při odvození vztahu pro kapilární tlak vyjdeme z úvahy, že bublina trochu zmenší svůj poloměr, tím tedy i plochu povrchu a objem. Práci, kterou přitom vykonají síly povrchového napětí, vyjádříme jednak pomocí změny povrchové energie bubliny a také pomocí kapilárního tlaku a změny objemu.

• Řešení část 1 - Výpočet kapilárního tlaku

  Představme si, že objem bubliny se o maličko zmenší, tím bude menší i její poloměr a plocha povrchu. Změnu objemu označíme ΔV, změnu poloměru Δr a změnu povrchu plochy ΔS.

  Povrchové síly při změně objemu bubliny vykonají práci, kterou můžeme vyjádřit pomocí kapilárního tlaku a změny objemu bubliny vztahem:

  $$ΔW = {p_{\mathrm{k}}ΔV},$$

  Změní-li se objem bubliny, změní se také plocha povrchu a tím i její povrchová energie E. Změnu povrchové energie můžeme vyjádřit vztahem:

  $$ΔE = {σΔS},$$

  kde σ je povrchové napětí a ΔS je změna povrchu bubliny.

  Práce povrchových sil při změně objemu bubliny je rovna změně povrchové energie a platí tedy:

  $${σΔS} = {p_{\mathrm{k}}ΔV}.$$

  Z tohoto vztahu už můžeme vyjádřit kapilární tlak

  $${p_{\mathrm{k}}} = \frac{σΔS}{ΔV}.\tag{1}$$

• Řešení část 2 - Vyjádření ΔS a ΔV

  Bublina má tvar koule. Pro objem koule o poloměru r platí vztah:

  $$V = \frac{4}{3}πr^{3}$$

  Zvětší-li se poloměr koule o Δr, zvětší se její objem o ΔV. Změnu objemu vypočítáme jako rozdíl objemů zvětšené bubliny (která má poloměr r+Δr) a původní bubliny o poloměru r:

  $$ΔV = \frac{4}{3}π(r+Δr)^{3} - \frac{4}{3}πr^{3}$$

  Po upravení získáme:

  $$ΔV = \frac{4}{3}π(3r^{2}Δr + 3rΔr^{2} + Δr^{3}).$$

  

  Protože se ale koule zvětšila jen o malý kousek, je změna poloměru Δr velmi malé číslo, jehož umocněním získáme ještě menší číslo. Druhou a třetí mocninu Δr tedy zanedbáme a získáme tak jednodušší vztah pro změnu objemu:

  $$ΔV = 4πr^{2}Δr.\tag{2}$$

  Nyní si určíme změnu plochy povrchu bubliny. Bublinu tvoří velmi tenká kulová plocha mýdlové vody, uvnitř které je vzduch. Bublina má tedy dva povrchy - vnější a vnitřní, které jsou díky tenké vrstvičce mýdlové bubliny přibližně stejně velké.

  Plocha povrchu bubliny je rovna dvojnásobku plochy povrchu koule (bublina má vnější a vnitřní povrch), platí tedy vztah:

  $$ΔS = 2·4πr^{2}.$$

  Jestliže se poloměr bubliny zvětšil o Δr, změnu plochy povrchu ΔS vypočítáme jako rozdíl ploch povrchů zvětšené bubliny s poloměrem r+Δr a původní bubliny s poloměrem r:

  $$ΔS = 8π(r+Δr)^{2} - 8πr^{2}.$$

  Po úpravě dostaneme:

  $$ΔS = 8π(2rΔr + Δr^{2}).$$

  Druhou mocninu Δr opět zanedbáme, jelikož jde o velmi malé číslo, a dostaneme vztah pro změnu plochy povrchu bubliny:

  $$ΔS = 16πrΔr.\tag{3}$$

• Komentář - vyjádření ΔS a ΔV s využitím diferenciálního počtu

  Změnu objemu a plochy povrchu při malé změně poloměru bubliny můžeme také určit jako diferenciály.

  Zderivujeme-li objem koule V podle r, dostaneme změnu objemu při malé změně poloměru

  $$\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr}(\frac{4}{3}πr^{3}) = \frac{4}{3}π·3r^{2}$$ $$dV = 4πr^{2} dr.$$

  Stejným způsobem zjistíme, jak se změní plocha povrchu bubliny při změně jejího poloměru. Nesmíme zapomenout, že bublina má dva povrchy

  $$\frac{dS}{dr} = \frac{d}{dr}(8πr^{2}) = 8π·2r$$ $$dS = 16πr dr.$$

  Porovnáme-li hodnoty dV a dS se vztahy (2) a (3), vidíme, že se shodují. Pokud bychom tedy příklad počítali s využitím diferenciálů, dostali bychom stejný výsledek.

• Řešení část 3 - Výpočet kapilárního tlaku

  Do vztahu (1) dosadíme za změnu objemu vztah (2) a za změnu plochy povrchu vztah (3):

  $${p_{\mathrm{k}}} = \frac{σ·16πrΔr}{4πr^{2}Δr}$$

  a po úpravě dostaneme:

  $${p_{\mathrm{k}}} = \frac{4σ}{r}.\tag{4}$$

• Co se stane po propojení bublin?

  V našem experimentu máme dvě bubliny, velkou a malou. Ze vztahu (4) vyplývá, že kapilární tlak je nepřímo úměrný poloměru bubliny, tedy čím menší je bublina, tím větší je tlak v této bublině. Po propojení obou bublin začne vzduch z menší bubliny vlivem vyššího tlaku proudit do větší bubliny. Bublina s větším poloměrem se tedy začne zvětšovat a menší bublina postupně zanikne.

  Poznámka: Pokus k této úloze najdete zde: Mýdlové bubliny propojené trubičkou.