Sbírka řešených úloh

Výška hladiny kapaliny v kapiláře

Úloha číslo: 1910

• Zápis

  Zadané hodnoty:

  r1 = 0,05 mm = 5·10−5 m	poloměr první kapiláry
  r2 = 0,15 mm = 1,5·10−4 m	poloměr druhé kapiláry

  Tabulkové hodnoty:

  σ20 = 73·10−3 N m−1	povrchové napětí vody při 20 °C
  σ70 = 64·10−3 N m−1	povrchové napětí vody při 70 °C
  ρ20 = 998,2 kg m−3	hustota vody při 20 °C
  ρ70 = 977,8 kg m−3	hustota vody při 70 °C

• Rozbor

  Nejprve je třeba zamyslet se nad tím, na čem závisí, do jaké výšky vystoupí voda v kapiláře. Ovlivní to jednak průměr kapiláry - v užší kapiláře vystoupí voda výše. Výška vystoupení vody závisí také na povrchovém napětí. Povrchové napětí vody se ale mění s teplotou - se vzrůstající teplotou klesá. Na teplotě závisí i hustota vody, která od cca 4 °C s rostoucí teplotou též klesá. Při zahřátí vody se tedy výška vody v kapilárách změní. Změnu průměru kapiláry při změně teploty vody nebudeme uvažovat.

  Nejdříve určíme výšku hladiny vody v obou kapilárách při teplotě 20 °C. Poté určíme vzdálenost hladin v těchto kapilárách.

  Obdobným způsobem pak určíme vzdálenost hladin vody v obou kapilárách při teplotě 70 °C.

  Nakonec vypočítáme, jak se změní vzdálenost hladin v kapilárách při uvedené změně teploty .

• Nápověda

  Abyste mohli vypočítat změnu vzdálenosti hladin v kapilárách, potřebujete vědět, jaký vztah platí pro výpočet výšky hladiny kapaliny v kapiláře.

  Hodnoty povrchového napětí vody při různých teplotách najdete v Tabulkách nebo na internetu.

• Vztah pro kapilární elevaci

  Výšku hladiny kapaliny h v kapiláře vypočítáme ze vztahu

  \[h = \frac{2σ}{rρg},\tag{1}\]

  kde σ je povrchové napětí kapaliny při dané teplotě, r značí poloměr kapiláry, ρ je hustota kapaliny a g je tíhové zrychlení.

  Poznámka: Odvození vztahu pro určení elevační výšky v kapiláře lze najít v úloze Skleněné destičky ve vodě.

• Řešení

  Nejdříve určíme vzdálenost hladin v kapilárách při teplotě vody 20° C.

  Výšku hladiny vypočítáme podle vztahu (1). Povrchové napětí σ a hustota kapaliny ρ závisí na teplotě, proto budou mít tyto veličiny ve spodním indexu zapsanou teplotu kapaliny.

  Označme si výšku hladiny vody v kapiláře o průměru 0,1 mm při teplotě 20° C jako h⁽¹⁾₂₀. Tuto výšku určíme ze vztahu

  \[h^{(1)}_{20} = \frac{2σ_{20}}{r_{1}ρ_{20}g}.\tag{2}\]

  Pro výšku hladiny v kapiláře o průměru 0,3 mm při teplotě 20° C, kterou jsme označili jako h⁽²⁾₂₀, platí

  \[h^{(2)}_{20} = \frac{2σ_{20}}{r_{2}ρ_{20}g}.\tag{3}\]

  

  Vzdálenost hladin v obou kapilárách určíme jako rozdíl výšek hladin v užší (2) a širší (3) kapiláře

  \[Δh_{20} = h^{(1)}_{20} − h^{(2)}_{20} = \frac{2σ_{20}}{ρ_{20}g}\left(\frac{1}{r_1} − \frac{1}{r_2}\right).\tag{4}\]

  Pro vzdálenost hladin v kapilárách při 70° C platí obdobný vztah, jako při 20° C

  \[Δh_{70} = \frac{2σ_{70}}{ρ_{70}g}\left(\frac{1}{r_1} − \frac{1}{r_2}\right).\tag{5}\]

  Nyní můžeme určit změnu vzdáleností hladin v  apilárách při změně teploty vody z 20° C (4) na 70° C (5)

  \[Δh = Δh_{20} − Δh_{70} = \frac{2}{g}\left(\frac{σ_{20}}{ρ_{20}} − \frac{σ_{70}}{ρ_{70}}\right)\left(\frac{1}{r_1} − \frac{1}{r_2}\right).\tag{6}\]

• Číselné dosazení

  Nyní dosadíme do vztahu (6) známé hodnoty a vypočítáme rozdíl vzdáleností hladin

  \[Δh \dot{=}\, \frac{2}{9{,}8}\left(\frac{73·10^{−3}}{998{,}2} − \frac{64·10^{−3}}{977{,}8}\right)\left(\frac{1}{5·10^{−5}} − \frac{1}{1{,}5·10^{−4}}\right) m\] \[Δh \dot{=}\, 2{,}1·10^{−2} m. \]

• Odpověď

  Vypočítali jsme, že vzdálenost hladin v kapilárách se při změně teploty z 20° C na 70° C změní přibližně o 2,1 cm.

  Pokus k této úloze najdete zde: Výška hladiny kapaliny v kapiláře.