Sbírka řešených úloh

Zpoždění západu Slunce

Úloha číslo: 1407

Pro pozorovatele na Zemi právě nastal západ Slunce. V důsledku lomu slunečních paprsků na rozhraní vakua a atmosféry je západ pozorován později, než kdyby toto rozhraní neexistovalo. Určete toto zpoždění.

Rozhraní vakua a atmosféry není ostré. Při výpočtu ale užijte značně zjednodušující model, viz obrázek. Uvažujte jedno sférické rozhraní dvou izotropních prostředí, vakua ($n_1=1$) a idealizované atmosféry ($n_2=1{,}0003$), jejíž tloušťka je právě taková, že paprsky na rozhraní dopadají pod pravým úhlem.

• Nápověda 1 – zakreslení situace

  Nakreslete si obrázek, který znázorňuje mezní případ západu Slunce pro pozorovatele na Zemi. Zaneste úhel dopadu a úhel lomu.

  Uvědomte si, že šířka atmosféry je pouze zlomkem poloměru Země.

• Řešení nápovědy 1 – zakreslení situace

  Vykreslíme popsanou situaci. V bodě A právě pozorovatel sleduje západ Slunce. Na idealizovaném rozhraní vakua a atmosféry dochází k lomu v bodě P.

  

  Úhel dopadu je v krajním případě $\frac{\pi}{2}$, úhel lomu jsme označili $\beta$.

• Nápověda 2 – úhel lomu

  Jaký je v mezní situaci úhel dopadu? Vyjádřete jej ze Snellova zákona lomu.

• Řešení nápovědy 2 – úhel lomu

  V mezním případě je úhel dopadu $\alpha = \frac{\pi}{2}.$ Úhel lomu jsme označili $\beta$.

  Ze Snellova zákona lomu pro rozhraní vakuum-vzduch

  $$n_1 \sin\frac{\pi}{2} = n_2 \sin \beta$$

  vyjádříme úhel lomu

  $$\beta = \arcsin \frac{n_1}{n_2} . \tag{1}$$

• Nápověda 3 – časové zpoždění

  • Ve kterém místě by člověk pozoroval západ Slunce, pokud by neexistovala atmosféra, tedy žádné rozhraní?

  • Jaký úhel otočení Země tomu odpovídá?

  • Jaký čas na toto pootočení Země potřebuje?

• Řešení nápovědy 3 – časové zpoždění

  Pokud by neexistovalo rozhraní, nedošlo by k lomu a západ Slunce by pozorovatel sledoval již v okamžiku, kdy byl spolu se Zemí u bodu P. Od této doby se Země pootočila o úhel

  $$\delta = \frac{\pi}{2} - \beta.$$

  Vyjádříme-li úhlovou rychlost $\omega$ otáčení Země jako podíl plného úhlu $2\pi$ a periody otáčení Země $T$, můžeme pro hledaný čas psát

  $$t = \frac{\delta}{\omega} = \frac{\frac{\pi}{2} - \beta}{\frac{2\pi}{T}}.$$

  Úpravou a dosazením za úhel $\beta$ z (1) získáváme konečný vztah

  $$t = \frac{1}{2\pi} \left[\frac{\pi}{2} - \arcsin \left(\frac{n_1}{n_2} \right)\right]T.$$

  Dosazením číselných hodnot pak dostáváme

  $$t = \frac{1}{2\pi} \left[\frac{\pi}{2} - \arcsin \left(\frac{1}{1{,}0003} \right)\right]24{\cdot} 60~\mathrm{min} \doteq 5{,}6~\mathrm{min}.$$

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  Vykreslíme popsanou situaci. V bodě A právě pozorovatel sleduje západ Slunce. Na idealizovaném rozhraní vakua a atmosféry dochází k lomu v bodě P.

  

  V mezním případě je úhel dopadu $\alpha = \frac{\pi}{2}.$ Úhel lomu jsme označili $\beta$.

  Ze Snellova zákona lomu pro rozhraní vakuum-vzduch

  $$n_1 \sin\frac{\pi}{2} = n_2 \sin \beta$$

  vyjádříme úhel lomu

  $$\beta = \arcsin \frac{n_1}{n_2} . \tag{1}$$

  Pokud by neexistovalo rozhraní, nedošlo by k lomu a západ Slunce by pozorovatel sledoval již v okamžiku, kdy byl spolu se Zemí u bodu P. Od této doby se Země pootočila o úhel

  $$\delta = \frac{\pi}{2} - \beta.$$

  Vyjádříme-li úhlovou rychlost $\omega$ otáčení Země jako podíl plného úhlu $2\pi$ a periody otáčení Země $T$, můžeme pro hledaný čas psát

  $$t = \frac{\delta}{\omega} = \frac{\frac{\pi}{2} - \beta}{\frac{2\pi}{T}}.$$

  Úpravou a dosazením za úhel $\beta$ z (1) získáváme konečný vztah

  $$t = \frac{1}{2\pi} \left[\frac{\pi}{2} - \arcsin \left(\frac{n_1}{n_2} \right)\right]T.$$

  Dosazením číselných hodnot pak dostáváme

  $$t = \frac{1}{2\pi} \left[\frac{\pi}{2} - \arcsin \left(\frac{1}{1{,}0003} \right)\right]24{\cdot} 60~\mathrm{min} \doteq 5{,}6~\mathrm{min}.$$

• Komentář k řešení

  V zadání příkladu je uveden požadavek na pravý úhel při bodu P, díky čemuž se příklad jednoduše počítá. Nicméně takové zjednodušení je přílišné a byť dává úloha velmi dobrý odhad zpoždění, je to výsledek velmi nereálného modelu – za takových podmínek totiž vychází tloušťka atmosféra necelé $2\,\mathrm{km}$.

  Reálně nedochází pouze k jednomu lomu, ale v důsledku průběžné změny indexu lomu k lomu v každém místě atmosféry a paprsek se ohýbá „hladčeji“.

  Trajektorii postupně ohýbajícího se paprsku si můžete bez složitých výpočtu numericky napočítat např. v tabulkovém editoru (Excel, OpenOffice Calc,..)

  

  Počáteční a konečný index lomu, počáteční souřadnice, úhel dopadu, šířku a počet vrstev lze zanést jako parametry a zkoumat, jak se s nimi trajektorie paprsků mění.

• Odpověď

  Náš jednoduchý model dává výsledné zpoždění západu Slunce přibližně $5{,}6\,\mathrm{min}$.