Sbírka řešených úloh

Výpočet vrypů na 1 mm

Úloha číslo: 1622

• Obrázek

  

  Na obrázku jsme si vyznačili: d je vzdálenost stínítka od mřížky, úhel α je úhel odchýlení prvního maxima od nultého maxima a Δx je vzdálenost na stínítku prvního a nultého maxima.

• Nápověda 1

  Co je to mřížková konstanta a jak z ní vypočítáme počet vrypů na 1 mm?

• Řešení nápovědy 1

  Mřížková konstanta není nic jiného než vzdálenost dvou sousedních štěrbin mřížky.

  

  Máme-li tedy počet vrypů N a mřížkovou konstantu b, potom je počet vrypů N na 1 mm této mřížky dán vztahem:

  \[N=\,\frac{10^{-3}\,\mathrm{m}}{b}.\]

• Nápověda 2

  Z nakresleného obrázku (viz výše) se pokuste vyjádřit vztah pro úhel α pomocí vzdálenosti stínítka od štěrbiny d a vzdálenosti prvního maxima od nultého maxima Δx.

• Řešení nápovědy 2

  Úhel α si vyjádříme z trojúhelníku, a to pomocí goniometrické funkce tangens. Dostaneme:

  \[\mathrm{tg}\,\,α = \, \frac{\mathrm{Δ}x}{d},\]

  takže pro úhel α platí:

  \[α =\, \mathrm{arctg}\,\,\frac{\mathrm{Δ}x}{d}.\]

• Nápověda 3

  Jaký vztah platí pro dráhový rozdíl dvou sousedních paprsků na mřížce a jak ho můžeme upravit, abychom dostali vztah pro mřížkovou konstantu b?

• Řešení nápovědy 3

  Pro dráhový rozdíl dvou sousedních paprsků na mřížce platí vztah:

  \[\mathrm{Δ}l = \,b\sin\,α,\]

  kde Δl je dráhový rozdíl dvou sousedních paprsků, b je mřížková konstanta a α je úhel, který paprsky svírají s centrální osou.

  Na podrobné odvození se podívejte na úlohu Výpočet úhlu odchýlení maxima.

   

  Protože v této úloze chceme spočítat počet vrypů na mřížce, nejdříve si budeme muset vypočítat mřížkovou konstantu b a tu si vyjádříme z předchozího vztahu:

  \[b=\,\frac{\mathrm{Δ}l}{\sin\,α},\]

  kde za Δl dosadíme podmínku pro interferenční maximum: Δl = kλ.

• Zápis

  d = 1 m	vzdálenost mřížky od stínítka
  k = 1	řád maxima
  λ = 589 nm = 5,89·10−7 m	vlnová délka dopadajícího světla
  Δx = 5 cm = 0,05 m	vzdálenost prvního maxima od nultého maxima na stínítku
  N = ?	počet vrypů na 1 mm

• Řešení

  

  Na obrázku jsme si vyznačili: d je vzdálenost stínítka od mřížky, úhel α je úhel odchýlení prvního maxima od nultého maxima a Δx je vzdálenost na stínítku prvního a nultého maxima.

  Samotná mřížková konstanta není nic jiného než vzdálenost dvou sousedních štěrbin mřížky. Takže když chceme vypočítat počet vrypů N na 1 mm této mřížky, potřebujeme znát mřížkovou konstantu b. Počet vrypů N na 1 mm této mřížky je dán vztahem:

  \[N=\,\frac{10^{−3}\,\mathrm{m}}{b}.\]

  Potřebujeme se dostat ke vztahu pro mřížkovou konstantu b a k tomu nám pomůže, když si úhel α vyjádříme z trojúhelníku na obrázku, a to pomocí goniometrické funkce tangens. Dostaneme:

  \[\mathrm{tg}\,\,α = \, \frac{\mathrm{Δ}x}{d},\]

  takže pro úhel α platí:

  \[α =\, \mathrm{arctg}\,\,\frac{\mathrm{Δ}x}{d}.\]

  Ze vztahu pro dráhový rozdíl dvou sousedních paprsků na mřížce si vyjádříme mřížkovou konstantu b a dostaneme:

  \[\mathrm{Δ}l = \,b\sin\,α,\]

  kde Δl je dráhový rozdíl dvou sousedních paprsků, b je mřížková konstanta a α je úhel, který paprsky svírají s centrální osou,

  \[b=\,\frac{\mathrm{Δ}l}{\sin\,α}.\]

  Teď si dosadíme do předchozího vztahu za α a za Δl dosadíme podmínku pro interferenční maxima Δl = kλ, kde k je ze zadání rovno 1:

  \[b=\,\frac{λ}{\sin\,\mathrm{arctg}\,\,\frac{\mathrm{Δ}x}{d}}.\]

  Už víme, jak vypočítat mřížkovou konstantu. Můžeme tedy dosadit do vztahu pro počet vrypů N a získáme:

  \[N= \,\frac{10^{−3}\,\mathrm{m}}{\,\frac{λ}{\sin\,\mathrm{arctg}\,\,\frac{\mathrm{Δ}x}{d}}}= \,\frac{\sin\,\mathrm{arctg}\,\,\frac{\mathrm{Δ}x}{d}}{λ}\,10^{−3}\,\mathrm{m}= \,\frac{\sin\,\mathrm{arctg}\,\,\frac{0.05}{1}}{5{,}89{\cdot}10^{−7}\,\,\mathrm{m}}10^{−3}\,\mathrm{m}=\] \[=\,84{,}7\,\dot=\,85. \]

• Odpověď

  Na 1 mm této mřížky připadá asi 85 vrypů.