Sériová rezonance

Pokus číslo: 968

  • Cíl pokusu

    Pokus demonstruje sériovou rezonanci RLC obvodu.

  • Teorie

    Střídavý obvod, ve kterém je zapojena cívka, kondenzátor a rezistor, označujeme obvykle jako RLC obvod (označení plyne ze značek jednotlivých prvků: odpor rezistoru R, indukčnost cívky L a kapacita kondenzátoru C).

    V našem případě budou všechny prvky zapojeny sériově (viz schéma na obr. 1), proto jimi teče stejný proud. Okamžitá hodnota napětí na jednotlivých prvcích se ale liší jak svou hodnotou, tak i fází: napětí na rezistoru \(u_R\) je ve fázi s proudem, napětí na kondenzátoru \(u_C\) se za proudem zpožďuje o π/2 a napětí na cívce \(u_L\) proud o π/2 předbíhá.

    Vzhledem k fázovým posunům nelze získat hodnotu celkového napětí aritmetickým součtem napětí na jednotlivých prvcích, je nutné použít Pythagorovu větu. Efektivní hodnota celkového napětí U tak je rovna:

    \[U=\sqrt{U_R^2+(U_L^2-U_C^2)},\tag{1}\]

    kde UR, UL a UC jsou efektivní hodnoty napětí na rezistoru, cívce a kondenzátoru.

    Vzhledem k tomu, že proud je na všech prvcích stejný, lze psát pro impedanci Z (tj. celkový odpor v obvodu):

    \[Z=\frac{U}{I}=\sqrt{X_R^2+(X_L^2-X_C^2)},\tag{2}\]

    kde XR, XL a XC jsou rezistance, induktance a kapacitance mající význam „odporu“ daného prvku ve střídavém obvodu.

    Rezonance je takový případ sériového obvodu, kdy je impedance co nejmenší možná, proud v obvodu je tedy maximální. K tomu dojde, jestliže splníme podmínku XL=XC. Dosadíme-li za induktanci a kapacitanci, lze určit frekvenci, při které dojde k rezonanci:

    \[\omega L=\frac{1}{\omega C}\;\;\Rightarrow \;\;\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}\tag{3}\]

    Kde L je indukčnost cívky a C je kapacita kondenzátoru. Dosadíme-li za úhlovou rychlost ω:

    \[\omega=2\pi f \;\;\Rightarrow\;\;f=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}},\tag{4}\]

    dostaneme tzv. Thomsonův rezonanční vztah. Plyne z něj mimo jiné, že rezonanční frekvence střídavého sériového obvodu je závislá na indukčnosti cívky a kapacitě kondenzátoru. Změnou těchto dvou parametrů obvodu lze tedy dosáhnout rezonance obvodu, která se v tomto pokusu projeví zvětšením proudu v obvodu a tedy maximálním svitem žárovky.

  • Pomůcky

    • sada kondenzátorů 48 μF
    • žárovka 6,3 V/0,3 A
    • dvě cívky 300 závitů nebo cívka 600 závitů
    • lístkové U a krátké I jádro
    • zdroj 8-10 V
    • spojovací vodiče
    • případně 2 střídavé voltmetry s rozsahem do 100 V

    Pomůcky
  • Postup

    Obvod zapojíme podle schématu. Obě cívky 300 závitů nasuneme na jádro U a uzavřeme krátkým jádrem. Cívky zapojíme do série.

    Obr. 1. Schéma zapojení

    Uspořádání experimentu je vidět na obr. 2 − vlevo jsou cívky, vpravo je umístěna baterie kondenzátorů.

    Obr. 2. Uspořádání experimentu


    1. Spojíme nakrátko svorky cívky, čímž do obvodu zapojíme jen kondenzátor a žárovku. Žárovka svítí slabě nebo vůbec.
    2. Spojíme svorky kondenzátoru, čímž do obvodu zapojíme jen cívku a žárovku. Žárovka opět svítí slabě.
    3. Ponecháme zapojenou cívku, kondenzátor i žárovku. Posunujeme-li krátkým jádrem, pozorujeme, že se jas žárovky zvětšuje. Při určité poloze jádra je jas největší, při dalšm posunováním jádra se jas žárovky opět zmenšuje. Při rezonanci prochází obvodem maximální proud, jas žárovky je proto největší.

    Pokud navíc připojíme voltmetry k cívce a kondenzátoru, lze pozorovat, že efektivní napětí na kondenzátoru i cívce je mnohem větší, než efektivní napětí zdroje.

  • Vzorový výsledek

    Provedení experimentu je vidět na videu:



    Typické naměřené hodnoty:

    Pro dvě cívky 300 závitů v sérii a kondenzátor 48 μF připojené na zdroj cca 8 V teče obvodem v rezonanci proud cca 0,3 A. Rezonance nastane při posunutí krátkého jádra téměř mimo U jádro. Na cívce i kondenzátoru je v té chvíli napětí okolo 20 V.

  • Technické poznámky

    • Nepodaří-li se dosáhnout sériové rezonance s kondenzátorem o dané kapacitě, tuto kapacitu změníme.
    • Cívky musí být propojeny tak, aby jejich vinutí na sebe navazovala. Pokud jsou zapojeny „proti sobě“, rezonance se nepodaří dosáhnout.
    • Pokud nemáme k dispozici dvě cívky 300 závitů, lze použít i jednu cívku 600 závitů. Rezonance potom s daným kondenzátorem nastane při vysunutí krátkého jádra mimo U jádro.
    • Při užití ampérmetru místo žárovky je rezonanční křivka sériového rezonančního obvodu dost ostrá, kdežto při použití žárovky je méně strmá. Je to proto, že ampérmetr má menší vnitřní odpor než je odpor vlákna žárovky a rezonanční křivka je tím strmější, čím má rezonanční obvod menší odpor.
Typ pokusu: kvalitativní
Věková skupina: od střední školy
Potřebné vybavení: proveditelné s pomůckami, které se na školách obvykle vyskytují
Čas přípravy pokusu: 3–10 minut
Čas provedení pokusu: 3–10 minut
Pokus je zachycen na videu