Sbírka fyzikálních pokusů

Sériová rezonance

Pokus číslo: 968

• Cíl pokusu

  Pokus demonstruje sériovou rezonanci RLC obvodu.

• Teorie

  Střídavý obvod, ve kterém je zapojena cívka, kondenzátor a rezistor, označujeme obvykle jako RLC obvod (označení plyne ze značek jednotlivých prvků: odpor rezistoru R, indukčnost cívky L a kapacita kondenzátoru C).

  Poznámka: Jako RLC obvod je často označován i obvod bez přímo zapojeného rezistoru, vzhledem k tomu, že samotné vodiče a zapojené součástky mají nenulový odpor. V našem případě je místo rezistoru zapojena žárovka, která bude detekovat proud v obvodu (viz schéma na obr. 1.).

  

  K rezonanci dojde, jestliže je celkový odpor obvodu minimální. Celkový odpor (označovaný jako impedance) závisí jednak na frekvenci střídavého proudu a jednak na parametrech zapojených součástek (kapacitě kondenzátoru a indukčnosti cívky). V našem případě zůstane frekvence obvodu stálá, rezonanci budeme ladit změnou indukčnosti cívky pomocí posouvání jejího jádra, rezonance se projeví zvětšením proudu v obvodu a tedy zvětšením jasu žárovky.

• Odvození rezonanční frekvence

  Všechny prvky v obvodu jsou zapojeny sériově (viz schéma na obr. 1), proto jimi teče stejný proud. Na cívce a kondenzátoru ale dochází k fázovému posunu mezi okamžitou hodnotou napětí a okamžitou hodnotou proudu: napětí na kondenzátoru u_C se za proudem zpožďuje o π/2 a napětí na cívce u_L proud o π/2 předbíhá. Pouze na rezistoru (v našem případě má funkci rezistoru žárovka) je napětí u_R ve fázi s proudem.

  Fázové posuny mezi napětím a proudem bývají často zakreslovány do tzv. fázorového diagramu (viz obr. 2) − délka každé šipky odpovídá amplitudě dané veličiny, průmět do vodorovné osy potom odpovídá okamžité hodnotě v daném čase. Celý fázorový diagram rotuje proti směru hodinových ručiček. Fázový posun mezi jednotlivými veličinami je znázorněn úhlem mezi odpovídajícími šipkami.

  

  Na jednotlivé šipky ve fázorovém diagramu lze pohlížet jako na vektory, k jejich složení proto použijeme Pythagorovu větu. Efektivní hodnota celkového napětí U je tak rovna:

  \[U=\sqrt{U_\mathrm{R}^2+(U_\mathrm{L}-U_\mathrm{C})^2},\tag{1}\]

  kde U_R, U_L a U_C jsou efektivní hodnoty napětí na rezistoru, cívce a kondenzátoru. Fázor celkového napětí míří v tomto případě směrem doprava nahoru, na obr. 2 je znázorněn červenou šipkou.

  Vzhledem k tomu, že proud je na všech prvcích stejný, lze psát pro celkový odpor obvodu (označovaný jako impedance Z):

  \[Z=\frac{U}{I}=\sqrt{\frac{U_\mathrm{R}^2}{I^2}+\left(\frac{U_\mathrm{L}}{I}-\frac{U_\mathrm{C}}{I}\right)^2}=\sqrt{X_\mathrm{R}^2+(X_\mathrm{L}-X_\mathrm{C})^2},\tag{2}\]

  kde X_R, X_L a X_C jsou rezistance, induktance a kapacitance mající význam „odporu“ daného prvku ve střídavém obvodu.

  Rezonance je takový případ sériového obvodu, kdy je impedance co nejmenší možná, proud v obvodu je tedy maximální. K tomu dojde, jestliže splníme podmínku X_L=X_C. Dosadíme za induktanci a kapacitanci z definice:

  \[X_\mathrm{L}=\omega L\,\,\,\,\mathrm{a}\,\,\,\, X_\mathrm{C}=\frac{1}{\omega C},\]

  kde L je indukčnost cívky a C je kapacita kondenzátoru.

  Z toho plyne frekvence, při které dojde k rezonanci:

  \[\omega L=\frac{1}{\omega C}\;\;\Rightarrow \;\;\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}\;\;\Rightarrow \;\;f=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}. \tag{3}\]

  Ze vztahu (3) je vidět, že rezonance lze dosáhnout buď laděním indukčnosti cívky nebo kapacity kondenzátoru na danou rezonanční frekvenci (tento způsob se používá např. při ladění rádií) nebo hledáním konkrétní rezonanční frekvence pro dané prvky obvodu.

• Pomůcky

  • sada kondenzátorů 48 μF
  • žárovka 6,3 V/0,3 A
  • dvě cívky 300 závitů nebo cívka 600 závitů
  • lístkové U a krátké I jádro
  • zdroj 8-10 V
  • spojovací vodiče
  • případně 2 střídavé voltmetry s rozsahem do 100 V

  
  

  

• Postup

  Obvod zapojíme podle schématu, cívku nasadíme na jádro a to uzavřeme.

  

  
  

  Experiment provedeme ve třech krocích:

  1. Spojíme nakrátko svorky cívky, čímž do obvodu zapojíme jen kondenzátor a žárovku. Žárovka svítí slabě nebo vůbec.
  2. Spojíme svorky kondenzátoru, čímž do obvodu zapojíme jen cívku a žárovku. Žárovka opět svítí slabě nebo vůbec.
  3. Ponecháme zapojenou cívku, kondenzátor i žárovku. Posunujeme-li krátkým jádrem, pozorujeme, že se jas žárovky zvětšuje. Při určité poloze jádra je jas největší, při dalším posunováním jádra se jas žárovky opět zmenšuje.

• Vzorový výsledek

  Provedení experimentu je vidět na videu:

  
  
  

  Typické naměřené hodnoty:

  Pro cívku 600 závitů a kondenzátor 48 μF připojené na zdroj cca 8 V teče obvodem v rezonanci proud přibližně 0,3 A. Rezonance nastane při posunutí krátkého jádra téměř mimo U jádro. Na cívce i kondenzátoru je v té chvíli napětí okolo 20 V.

• Technické poznámky

  • Nepodaří-li se dosáhnout sériové rezonance s kondenzátorem o dané kapacitě, tuto kapacitu změníme.
  • Při užití ampérmetru místo žárovky je rezonanční křivka sériového rezonančního obvodu dost ostrá, kdežto při použití žárovky je méně strmá. Je to proto, že ampérmetr má menší vnitřní odpor než je odpor vlákna žárovky a rezonanční křivka je tím strmější, čím má rezonanční obvod menší odpor.

• Metodické poznámky

  K cívce a kondenzátoru lze navíc připojit voltmetry. V tom případě lze pozorovat, že efektivní napětí na každém z prvků je větší než efektivní napětí zdroje.